El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c², donde c es la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto, y a y b son los catetos. Sirve para calcular un lado cuando conoces los otros dos. Por ejemplo, si los catetos miden 3 y 4, la hipotenusa mide 5, porque 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Las partes del triángulo rectángulo
- Ángulo recto: mide 90°, como la esquina de una hoja.
- Catetos (a y b): los dos lados que forman el ángulo recto.
- Hipotenusa (c): el lado más largo, enfrente del ángulo recto.
El teorema solo vale para triángulos rectángulos. Si el triángulo no tiene un ángulo de 90°, hay que usar otras herramientas, como la ley de cosenos.
Las tres fórmulas que salen del teorema
| Qué buscas | Fórmula |
|---|---|
| La hipotenusa | c = √(a² + b²) |
| Un cateto (a) | a = √(c² − b²) |
| El otro cateto (b) | b = √(c² − a²) |
Truco para no equivocarte: la hipotenusa siempre es el lado más largo. Si buscas un cateto, restas; si buscas la hipotenusa, sumas.
Ejemplos resueltos
1. Calcular la hipotenusa
Los catetos miden 6 cm y 8 cm.
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
2. Calcular un cateto
La hipotenusa mide 13 m y un cateto 5 m.
a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 m.
3. Un problema de la vida real
Una escalera de 5 m está apoyada en una pared y su base queda a 1,5 m de la pared. ¿A qué altura llega?
Altura = √(5² − 1,5²) = √(25 − 2,25) = √22,75 ≈ 4,77 m.
4. La diagonal de una pantalla
Una pantalla mide 80 cm de ancho y 45 cm de alto. Su diagonal es √(80² + 45²) = √(6.400 + 2.025) = √8.425 ≈ 91,8 cm, unas 36 pulgadas. Así se calculan las «pulgadas» de televisores y celulares.
5. ¿Es un triángulo rectángulo?
Un triángulo mide 7, 24 y 25. Comprobamos: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Sí es rectángulo. Este uso inverso, el recíproco del teorema, sirve para comprobar si una esquina está a escuadra.
Ternas pitagóricas
Son grupos de tres números enteros que cumplen a² + b² = c². Conviene conocer las más comunes porque aparecen en muchos exámenes:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
Cualquier múltiplo de una terna también lo es: 6-8-10, 9-12-15 o 30-40-50 vienen de 3-4-5. Los albañiles lo usan desde hace siglos: miden 3 unidades en un muro, 4 en el otro, y si la diagonal da 5, la esquina está a 90°.
Por qué es cierto: una demostración visual
Dibuja un cuadrado grande de lado a + b y coloca dentro cuatro copias del triángulo rectángulo, de forma que en el centro quede un cuadrado inclinado de lado c.
- Área del cuadrado grande: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Esa misma área es la suma de los cuatro triángulos, 4 · (ab/2) = 2ab, más el cuadrado del centro, c².
- Igualando: a² + 2ab + b² = 2ab + c², y quitando 2ab de los dos lados queda a² + b² = c².
Hay cientos de demostraciones distintas; esta es de las más fáciles de recordar.
Un poco de historia
El teorema lleva el nombre de Pitágoras de Samos, filósofo y matemático griego del siglo VI a. C., aunque no se conservan escritos suyos y no es seguro que lo demostrara él mismo; su escuela, los pitagóricos, lo hizo famoso. La relación era conocida mucho antes: la tablilla babilónica Plimpton 322, de hacia 1800 a. C., contiene listas de números que forman ternas pitagóricas, y en la India y en China también se conocía en la Antigüedad. La primera demostración escrita que conservamos es la de Euclides, en sus Elementos (hacia el 300 a. C.).
Ejercicios para practicar
- Los catetos miden 9 y 12. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
- La hipotenusa mide 17 y un cateto 8. ¿Cuánto mide el otro?
- Un rectángulo mide 24 × 10 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
- ¿Forman 10, 24 y 26 un triángulo rectángulo?
- Un poste de 12 m se sujeta con un cable atado a 5 m de su base. ¿Cuánto mide el cable?
Soluciones: 1. 15 · 2. 15 · 3. 26 cm · 4. Sí (100 + 576 = 676 = 26²) · 5. 13 m
Si quieres seguir, en Matemáticas tienes problemas de ingenio resueltos, una introducción al análisis matemático y otra a la estadística.
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
Que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c².
¿Cómo saco la hipotenusa?
Elevas al cuadrado los dos catetos, los sumas y sacas la raíz cuadrada del resultado: c = √(a² + b²).
¿Cómo saco un cateto?
Restas al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto que conoces y sacas la raíz: a = √(c² − b²).
¿Sirve para cualquier triángulo?
No, solo para triángulos rectángulos, los que tienen un ángulo de 90°.