La estadística sirve para resumir muchos datos en unos pocos números que se entienden, y la probabilidad, para medir la incertidumbre. Estos apuntes van de lo más básico (la media) a la combinatoria y la probabilidad, con un mismo ejemplo que se va resolviendo paso a paso.
Índice
- Conceptos básicos
- Tablas de frecuencias, media, mediana y moda
- Rango, varianza y desviación típica
- Combinatoria: permutaciones, variaciones y combinaciones
- Probabilidad
1. Conceptos básicos
- Población: el conjunto completo que se quiere estudiar (todos los alumnos de una escuela).
- Muestra: la parte de la población que realmente se observa (los 10 alumnos de un grupo).
- Variable cualitativa: no se mide con números (color favorito, estado civil).
- Variable cuantitativa discreta: toma valores sueltos, normalmente al contar (número de hermanos).
- Variable cuantitativa continua: puede tomar cualquier valor de un intervalo, normalmente al medir (estatura, tiempo).
2. Tablas de frecuencias y medidas de centralización
Usaremos este ejemplo en toda la página: las calificaciones de 10 alumnos en un examen.
6, 7, 7, 8, 5, 9, 7, 6, 8, 10
Tabla de frecuencias
La frecuencia absoluta (f) es cuántas veces aparece cada valor; la relativa (h) es esa cantidad dividida entre el total; la acumulada (F) va sumando.
| Calificación (x) | f | h | F |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | 0,1 | 1 |
| 6 | 2 | 0,2 | 3 |
| 7 | 3 | 0,3 | 6 |
| 8 | 2 | 0,2 | 8 |
| 9 | 1 | 0,1 | 9 |
| 10 | 1 | 0,1 | 10 |
| Total | 10 | 1 |
Media, mediana y moda
- Media (promedio): suma de los datos entre el número de datos. 73/10 = 7,3.
- Mediana: el valor central con los datos ordenados (5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10). Con 10 datos hay dos centrales, el 5.º y el 6.º (7 y 7), y la mediana es su promedio: 7.
- Moda: el valor más repetido: 7.
¿Cuál usar? La media aprovecha todos los datos, pero la mueven mucho los valores extremos. Si en un grupo de diez personas que ganan 10 000 pesos al mes entra alguien que gana un millón, la media se dispara y la mediana apenas cambia. Por eso los sueldos y los precios de vivienda se suelen resumir con la mediana.
3. Medidas de dispersión
Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos: uno con todas las notas en 7 y otro con la mitad en 4 y la mitad en 10. La dispersión mide cuánto se separan los datos de la media.
- Rango: máximo − mínimo = 10 − 5 = 5.
- Varianza: el promedio de los cuadrados de las distancias a la media.
- Desviación típica (o estándar): la raíz cuadrada de la varianza. Se expresa en las mismas unidades que los datos, y por eso es la que se interpreta.
Cálculo paso a paso
| x | x − 7,3 | (x − 7,3)² | f | f·(x − 7,3)² |
|---|---|---|---|---|
| 5 | −2,3 | 5,29 | 1 | 5,29 |
| 6 | −1,3 | 1,69 | 2 | 3,38 |
| 7 | −0,3 | 0,09 | 3 | 0,27 |
| 8 | 0,7 | 0,49 | 2 | 0,98 |
| 9 | 1,7 | 2,89 | 1 | 2,89 |
| 10 | 2,7 | 7,29 | 1 | 7,29 |
| Suma | 20,10 |
- Varianza poblacional: σ² = 20,10/10 = 2,01 → desviación típica σ = √2,01 ≈ 1,42.
- Si los 10 alumnos son una muestra y queremos estimar la de toda la escuela, se divide entre n − 1: s² = 20,10/9 ≈ 2,23 → s ≈ 1,49.
- Coeficiente de variación: σ/media = 1,42/7,3 ≈ 0,19, es decir, un 19 %. Sirve para comparar la dispersión de datos con medias o unidades distintas.
La regla 68-95-99,7
Cuando los datos siguen una distribución normal (la «campana de Gauss»), alrededor del 68 % queda a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres. Por eso un dato a más de tres desviaciones de la media se considera muy raro.
4. Combinatoria
La combinatoria cuenta de cuántas formas se pueden elegir u ordenar objetos. Casi todo se reduce a dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se pueden repetir los elementos?
| Tipo | ¿Importa el orden? | ¿Se repite? | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Permutaciones | Sí (se usan todos) | No | n! |
| Variaciones | Sí | No | n!/(n − k)! |
| Variaciones con repetición | Sí | Sí | nk |
| Combinaciones | No | No | n!/[k!·(n − k)!] |
El símbolo n! (n factorial) es n·(n − 1)·…·2·1. Por ejemplo, 5! = 120 y, por convenio, 0! = 1.
Ejemplos resueltos
- ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros en una repisa? Importa el orden y se usan todos: 5! = 120.
- En una carrera de 8 corredores, ¿cuántos podios distintos (oro, plata y bronce) hay? Importa el orden y no se repite nadie: 8·7·6 = 336.
- ¿Cuántos NIP de 4 dígitos existen? Importa el orden y los dígitos se pueden repetir: 10⁴ = 10 000.
- ¿De cuántas formas se eligen 3 delegados entre 10 alumnos? No importa el orden: 10!/(3!·7!) = 120.
5. Probabilidad
Si todos los resultados de un experimento son igual de probables, la probabilidad de un suceso es la regla de Laplace:
P(suceso) = casos favorables / casos posibles
- Sacar un número par con un dado: 3/6 = 1/2.
- Que dos dados sumen 7: hay 6 combinaciones favorables (1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1) de 36 posibles, así que 1/6.
- Sucesos independientes: si uno no influye en el otro, P(A y B) = P(A)·P(B). Sacar dos «soles» seguidos con una moneda: 1/2 · 1/2 = 1/4.
El truco del complementario
A menudo es más fácil calcular la probabilidad de que algo no pase: P(A) = 1 − P(no A).
Ejemplo clásico (el problema del caballero de Méré, siglo XVII). ¿Qué es más probable al tirar un dado 4 veces: sacar al menos un 6 o no sacar ninguno? P(ningún 6) = (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0,482. Entonces P(al menos un 6) = 1 − 0,482 ≈ 0,518: apostar a que sale algún 6 es ligeramente favorable. Pascal y Fermat se escribieron cartas sobre este tipo de apuestas, y de ahí nació la teoría de la probabilidad.
¿Cuántas posibilidades hay en una lotería?
En un sorteo en el que se eligen 6 números de 56 sin importar el orden, las combinaciones posibles son 56!/(6!·50!) = 32 468 436. Con un solo boleto, la probabilidad de acertar los seis es de 1 entre más de 32 millones.
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