Ecuaciones de primer grado: cómo resolverlas, ejemplos y problemas

Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita, normalmente x, elevada a la potencia 1, como 3x − 5 = 16. Resolverla es encontrar el valor de x que hace verdadera la igualdad. El método consiste en dejar las x en un lado y los números en el otro, haciendo siempre la misma operación en ambos lados. En el ejemplo: 3x = 21, así que x = 7. Para comprobarlo, se sustituye: 3 · 7 − 5 = 16. ✓

Las partes de una ecuación

En 5x + 3 = 2x + 18:

• Miembros: lo que está a la izquierda del igual (5x + 3) y a la derecha (2x + 18).
• Términos: cada sumando: 5x, 3, 2x y 18.
• Incógnita: la letra cuyo valor buscamos (x).
• Coeficiente: el número que multiplica a la incógnita (5 y 2).
• Término independiente: los números sin letra (3 y 18).

Cómo resolverla, paso a paso

1. Quita paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
2. Quita denominadores multiplicando todo por el mínimo común múltiplo.
3. Agrupa: las x a un lado y los números al otro. Lo que suma pasa restando, lo que resta pasa sumando.
4. Reduce cada lado: suma los términos semejantes.
5. Despeja: el número que multiplica a la x pasa dividiendo.
6. Comprueba sustituyendo el resultado en la ecuación original.

La regla de fondo es una sola: lo que hagas en un lado de la igualdad, hazlo también en el otro, como una balanza que debe quedar equilibrada. «Pasar restando» es solo un atajo de esa regla.

Ejemplos resueltos, de fácil a difícil

1. Básica

x + 7 = 15

x = 15 − 7

x = 8

2. Con coeficiente

3x − 5 = 16

3x = 16 + 5 = 21

x = 21 ÷ 3

x = 7

3. Con x en los dos lados

5x + 3 = 2x + 18

5x − 2x = 18 − 3

3x = 15

x = 5

4. Con paréntesis

4(x − 2) = 2x + 6

4x − 8 = 2x + 6

4x − 2x = 6 + 8

2x = 14

x = 7

5. Con fracciones

x/3 + x/2 = 10

Multiplicamos todo por 6, el mínimo común múltiplo de 3 y 2: 2x + 3x = 60

5x = 60

x = 12

6. Fracciones en los dos lados

(2x + 1)/3 = (x + 4)/2

Multiplicamos en cruz: 2(2x + 1) = 3(x + 4)

4x + 2 = 3x + 12

x = 10

Casos especiales

Caso	Ejemplo	Qué pasa	Resultado
Una solución	3x − 5 = 16	Se despeja normalmente	x = 7
Infinitas soluciones (identidad)	2(x + 3) = 2x + 6	Queda 6 = 6	Cualquier número sirve
Sin solución	2x + 1 = 2x + 5	Queda 1 = 5	Ningún número sirve

Problemas con ecuaciones

La parte difícil no es resolver, sino plantear. Un método que funciona:

1. Lee el problema y decide qué es x.
2. Escribe las demás cantidades usando x.
3. Traduce la frase clave a una igualdad.
4. Resuelve y responde con palabras.

Edades

Ana tiene el triple de edad que su hijo y entre los dos suman 48 años.

Hijo = x; Ana = 3x. Entonces x + 3x = 48, 4x = 48, x = 12.

El hijo tiene 12 años y Ana, 36.

Números consecutivos

Tres números consecutivos suman 72.

x + (x + 1) + (x + 2) = 72, 3x + 3 = 72, 3x = 69, x = 23.

Son 23, 24 y 25.

Compras

Tres cuadernos iguales y un bolígrafo de 15 pesos cuestan 105 pesos. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno?

3x + 15 = 105, 3x = 90, x = 30.

Cada cuaderno cuesta 30 pesos.

Geometría

Un rectángulo tiene 50 cm de perímetro, y su largo mide 5 cm más que el ancho.

Ancho = x; largo = x + 5. Entonces 2(x + x + 5) = 50, 4x + 10 = 50, x = 10.

Mide 10 cm de ancho y 15 cm de largo.

Errores frecuentes

• Cambiar de lado sin cambiar el signo: si 3 está sumando y pasa al otro lado, va restando.
• Distribuir mal: −2(x − 3) es −2x + 6, no −2x − 6.
• Dividir solo una parte: en 2x = 10 + 4, primero suma (2x = 14) y después divide.
• No comprobar: sustituir el resultado tarda 20 segundos y detecta casi cualquier error.

Ejercicios

1. x − 9 = 4
2. 6x = 42
3. 2x + 9 = 25
4. 7x − 4 = 3x + 20
5. 3(x + 4) = 2(x + 11)
6. x/4 + 5 = 9
7. (x − 1)/2 = (x + 3)/4
8. Un número más su doble es 54. ¿Cuál es el número?

Soluciones: 1. x = 13 · 2. x = 7 · 3. x = 8 · 4. x = 6 · 5. x = 10 · 6. x = 16 · 7. x = 5 · 8. 18

Cuando domines las ecuaciones, prueba con el teorema de Pitágoras, donde también se despeja una incógnita, o con los problemas de ingenio. Todo está en la sección de Matemáticas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una ecuación de primer grado?

Una igualdad con una incógnita elevada a la potencia 1, sin x² ni potencias mayores. También se llama ecuación lineal.

¿Cómo se resuelve una ecuación de primer grado?

Se agrupan las incógnitas en un lado y los números en el otro, se reduce y se despeja la incógnita dividiendo entre su coeficiente.

¿Cuántas soluciones tiene?

Normalmente una. Si al resolver queda una igualdad cierta sin x (6 = 6), tiene infinitas; si queda una falsa (1 = 5), no tiene solución.

¿Por qué se llama «de primer grado»?

Porque el mayor exponente de la incógnita es 1. Las de segundo grado tienen x².