El análisis matemático estudia cómo cambian las cantidades: qué pasa con una sucesión de números cuando avanzamos «hasta el infinito», cuándo una suma infinita da un resultado finito y cómo medir la rapidez con la que crece una función. Estos apuntes cubren el análisis de una variable, que es lo que se ve en el último año de prepa y en el primer curso de cálculo.
Índice
- Sucesiones y límites
- Series numéricas
- Funciones reales de una variable, límites y continuidad
- Derivadas y sus aplicaciones
- Errores frecuentes
1. Sucesiones y límites
Una sucesión es una lista infinita y ordenada de números: a1, a2, a3, … Se describe con su término general an, una fórmula que da el número que ocupa el lugar n.
| Término general | Primeros términos | Comportamiento |
|---|---|---|
| an = 1/n | 1, 1/2, 1/3, 1/4, … | Se acerca a 0 |
| an = n² | 1, 4, 9, 16, … | Crece sin límite (tiende a +∞) |
| an = (−1)n | −1, 1, −1, 1, … | Oscila: no tiene límite |
| an = (1 + 1/n)n | 2; 2,25; 2,37; 2,44; … | Se acerca al número e ≈ 2,71828 |
Qué significa que una sucesión tenga límite
Decimos que an tiende a L (y escribimos lím an = L) si, a partir de cierto término, todos los términos están tan cerca de L como queramos. En lenguaje formal: para cada ε > 0 existe un número N tal que |an − L| < ε para todo n > N. Si una sucesión tiene límite finito se llama convergente; si no, divergente.
Cómo calcular límites de cocientes de polinomios
Cuando aparece la indeterminación ∞/∞, se divide numerador y denominador entre la mayor potencia de n.
Ejemplo. lím (3n² + 1)/(n² − 5). Dividimos todo entre n²: (3 + 1/n²)/(1 − 5/n²). Como 1/n² → 0 y 5/n² → 0, el límite es 3/1 = 3.
Regla rápida: si el grado del numerador es mayor, el límite es ±∞; si es menor, el límite es 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales.
Un teorema muy útil
Toda sucesión monótona (siempre creciente o siempre decreciente) y acotada es convergente. Así se demuestra, por ejemplo, que (1 + 1/n)n tiene límite: es creciente y nunca pasa de 3. Ese límite es el número e.
2. Series numéricas
Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión: a1 + a2 + a3 + … Para darle sentido se miran las sumas parciales Sn = a1 + … + an. Si Sn tiene límite S, la serie converge y su suma es S.
La serie geométrica
Es la suma a + ar + ar² + ar³ + … Converge solo si |r| < 1, y entonces su suma es a/(1 − r).
Ejemplo. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … tiene a = 1/2 y r = 1/2, así que suma (1/2)/(1 − 1/2) = 1. Es la versión matemática de la paradoja de Zenón: infinitos pasos que suman una distancia finita.
Una condición necesaria (pero no suficiente)
Si una serie converge, sus términos tienden a 0. Lo contrario no es cierto: la serie armónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … tiene términos que tienden a 0 y, sin embargo, su suma crece sin límite.
Criterios para saber si una serie converge (términos positivos)
| Criterio | Qué se hace | Conclusión |
|---|---|---|
| Serie p | Comparar con Σ 1/np | Converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1 |
| Comparación | Acotar an ≤ bn con Σ bn convergente | Σ an también converge |
| Cociente (D’Alembert) | Calcular L = lím an+1/an | L < 1 converge; L > 1 diverge; L = 1 no decide |
| Raíz (Cauchy) | Calcular L = lím ⁿ√an | Igual que el del cociente |
Ejemplo. Σ 1/n! (n = 0, 1, 2, …). Con el criterio del cociente: an+1/an = n!/(n+1)! = 1/(n+1) → 0 < 1, así que converge. De hecho, su suma es exactamente e.
3. Funciones reales de una variable
Una función f asigna a cada número x de su dominio un único número f(x). El conjunto de valores que toma es el recorrido o imagen.
Calcular el dominio
- Raíces de índice par: lo de dentro debe ser ≥ 0. Ejemplo: f(x) = √(x − 2) tiene dominio x ≥ 2.
- Fracciones: el denominador no puede ser 0. Ejemplo: f(x) = 1/(x − 1) tiene dominio todos los reales salvo x = 1.
- Logaritmos: el argumento debe ser > 0. Ejemplo: f(x) = ln(x + 3) tiene dominio x > −3.
Límite de una función
límx→a f(x) = L significa que f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a, sin importar lo que valga f justo en a. Existen los límites laterales (por la izquierda y por la derecha); el límite existe solo si ambos coinciden.
Ejemplo (indeterminación 0/0). límx→2 (x² − 4)/(x − 2). Si sustituimos sale 0/0. Factorizamos: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 para x ≠ 2. El límite es 2 + 2 = 4.
Continuidad
f es continua en x = a si se cumplen tres cosas: f(a) existe, el límite en a existe y ambos valores coinciden. Intuitivamente, la gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz.
- Discontinuidad evitable: el límite existe pero no coincide con f(a) o f(a) no existe (como en el ejemplo anterior en x = 2).
- De salto: los límites laterales existen pero son distintos.
- Esencial o asintótica: algún límite lateral es infinito o no existe, como 1/(x − 1) en x = 1.
Dos teoremas clave para funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b]: el de Bolzano (si f(a) y f(b) tienen signos distintos, f se anula en algún punto intermedio; sirve para localizar raíces) y el de Weierstrass (f alcanza un valor máximo y uno mínimo en el intervalo).
4. Derivadas
La derivada de f en un punto a mide la rapidez con la que cambia la función en ese punto. Se define como el límite:
f′(a) = límh→0 [f(a + h) − f(a)] / h
Geométricamente, f′(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (a, f(a)).
Tabla de derivadas básicas
| Función | Derivada |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| xn | n·xn−1 |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| tan x | 1/cos² x |
Reglas de derivación
| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Suma | (f + g)′ = f′ + g′ |
| Producto | (f·g)′ = f′·g + f·g′ |
| Cociente | (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g² |
| Cadena | [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x) |
Ejemplos resueltos
- f(x) = 3x⁴ − 2x + 5 → f′(x) = 12x³ − 2.
- f(x) = (x² + 1)·sen x → regla del producto: f′(x) = 2x·sen x + (x² + 1)·cos x.
- f(x) = (2x + 1)⁵ → regla de la cadena: f′(x) = 5(2x + 1)⁴·2 = 10(2x + 1)⁴.
- Recta tangente a y = x² en x = 3: el punto es (3, 9) y la pendiente es f′(3) = 2·3 = 6. La recta es y − 9 = 6(x − 3), es decir, y = 6x − 9.
Para qué sirven: máximos y mínimos
Donde una función derivable tiene un máximo o un mínimo local, su derivada vale 0. Después, el signo de la segunda derivada dice cuál es cuál: f″ > 0 indica mínimo y f″ < 0, máximo.
Ejemplo. f(x) = x³ − 3x. f′(x) = 3x² − 3 = 0 da x = 1 y x = −1. Como f″(x) = 6x, en x = 1 tenemos f″ = 6 > 0 (mínimo, f(1) = −2) y en x = −1, f″ = −6 < 0 (máximo, f(−1) = 2).
Errores frecuentes
- Pensar que si an → 0 la serie Σ an converge. La serie armónica demuestra que no.
- «Simplificar» ∞ − ∞ o 0/0 como si fueran números. Son indeterminaciones: hay que transformar la expresión.
- Olvidar multiplicar por la derivada de dentro en la regla de la cadena.
- Confundir (f·g)′ con f′·g′. La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.
- Concluir que hay máximo o mínimo solo porque f′(a) = 0: x³ tiene derivada 0 en x = 0 y no tiene ni lo uno ni lo otro (es un punto de inflexión).
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