Doce problemas clásicos para pensar con calma. Intenta resolver cada uno antes de leer la solución, que está justo debajo. No hace falta saber muchas matemáticas: basta con no fiarse de la primera respuesta que se te ocurra.
Durante años, la página de matemáticas de Ciudad Futura publicó un «problema de la semana» propuesto por los lectores. Aquí recogemos algunos de los acertijos clásicos de aquella tradición, con soluciones nuevas.
1. Las tijeras atrapadas
Unas tijeras tienen un cordón que pasa por sus dos ojos (los agujeros para los dedos) formando un lazo, y los dos extremos del cordón están sujetos a la pared, o a los dos bornes de un circuito, de modo que no se pueden soltar. ¿Cómo se liberan las tijeras sin cortar ni desatar el cordón?
Solución. Toma el lazo donde el cordón pasa por el segundo ojo y tira de él hacia atrás a través del primer ojo, hasta que sobresalga una buena curva. Después pasa las tijeras enteras por dentro de esa curva y el cordón se desliza fuera de los ojos. Es un problema de topología: lo que importa no son las distancias, sino cómo se enlazan las cosas.
2. El lobo, la cabra y la col
Un campesino tiene que cruzar un río con un lobo, una cabra y una col. En la barca solo cabe él con una de las tres cosas. Si se quedan solos, el lobo se come a la cabra y la cabra se come la col. ¿Cómo lo consigue?
Solución. 1) Cruza con la cabra. 2) Vuelve solo. 3) Cruza con el lobo. 4) Vuelve con la cabra. 5) Cruza con la col (el lobo y la col pueden quedarse juntos). 6) Vuelve solo. 7) Cruza con la cabra. La clave es el paso 4: llevar algo de regreso.
3. El bate y la pelota
Un bate y una pelota cuestan 1,10 pesos en total. El bate cuesta un peso más que la pelota. ¿Cuánto cuesta la pelota?
Solución. La respuesta rápida (10 centavos) es incorrecta, porque entonces el bate costaría 1,10 y el total sería 1,20. Si la pelota cuesta p, el bate cuesta p + 1 y 2p + 1 = 1,10. La pelota cuesta 5 centavos y el bate, 1,05.
4. Los nueve puntos
Dibuja nueve puntos en forma de cuadrícula de 3 × 3. Únelos todos con cuatro líneas rectas sin levantar el lápiz.
Solución. Es imposible si te quedas dentro del cuadrado imaginario que forman los puntos. Hay que salirse: empieza en una esquina, recorre una fila y prolonga la línea más allá del último punto. Desde ahí, vuelve en diagonal, sube por una columna y cierra con la otra diagonal. De este problema viene la expresión «pensar fuera de la caja».
5. La moneda falsa
Tienes 8 monedas iguales en apariencia, pero una pesa un poco menos. Con una balanza de dos platos, ¿cómo encuentras la falsa en solo dos pesadas?
Solución. Separa las monedas en grupos de 3, 3 y 2. Pesa 3 contra 3. Si equilibran, la falsa está entre las 2 restantes: pésalas una contra otra. Si no equilibran, la falsa está en el grupo de 3 que sube: pesa dos de esas monedas; si equilibran, es la tercera, y si no, es la que sube.
6. Cuatro litros con dos jarras
Tienes una jarra de 3 litros y otra de 5, sin marcas. ¿Cómo mides exactamente 4 litros?
Solución. Llena la de 5 y vacíala en la de 3: quedan 2 litros en la de 5. Vacía la de 3 y echa en ella esos 2 litros. Llena otra vez la de 5 y completa con ella la de 3, a la que solo le cabe 1 litro. En la de 5 quedan 4 litros.
7. La suma del pequeño Gauss
Cuenta la anécdota que a un niño llamado Carl Friedrich Gauss le pidieron sumar todos los números del 1 al 100, y lo hizo en segundos. ¿Cómo?
Solución. Emparejando el primero con el último: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101… Hay 50 parejas, así que la suma es 50 × 101 = 5050. En general, 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
8. El caracol en el pozo
Un caracol está en el fondo de un pozo de 10 metros. Cada día sube 3 metros y cada noche resbala 2. ¿Cuántos días tarda en salir?
Solución. No son 10. Al final de cada día y noche avanza 1 metro neto, así que al cabo de 7 días completos está a 7 metros. El octavo día sube 3 y llega a los 10: sale el día 8, antes de volver a resbalar.
9. La paradoja del cumpleaños
¿Cuántas personas tiene que haber en una reunión para que sea más probable que no que dos cumplan años el mismo día?
Solución. Solo 23. Se calcula con el complementario: la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es (365/365)·(364/365)·…·(343/365) ≈ 0,493, así que la de que haya una coincidencia es de alrededor del 50,7 %. Parece poco porque no buscamos a alguien que cumpla el mismo día que tú, sino cualquier pareja: con 23 personas hay 253 parejas posibles.
10. Las tres puertas (Monty Hall)
En un concurso hay tres puertas: detrás de una hay un coche y detrás de las otras dos, una cabra. Eliges una. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre otra de las puertas y enseña una cabra. Te ofrece cambiar. ¿Te conviene?
Solución. Sí. Si mantienes tu elección, ganas con probabilidad 1/3, la que tenías al principio. Si cambias, ganas 2/3 de las veces: siempre que tu primera elección fuera una cabra, que es lo más probable, el presentador te ha dejado el coche en la puerta que queda.
11. Los granos de trigo del ajedrez
Según la leyenda, el inventor del ajedrez pidió como premio un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así, duplicando, hasta la 64. ¿Cuántos granos son?
Solución. 1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos: más trigo que el que se ha cosechado en toda la historia. Es el ejemplo clásico de crecimiento exponencial.
12. Las edades
Un padre tiene 36 años y su hijo, 6. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Solución. Dentro de x años: 36 + x = 3(6 + x), es decir, 36 + x = 18 + 3x, y x = 9. El padre tendrá 45 y el hijo, 15.
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